Question

如果函數(shù)f（x）=

2ax-1，x∈(0，1] 3ax-1，x∈(1，+∞)

，g（x）=log₂x，關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對于任意x∈（0，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先考慮關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對于任意x∈（0，1]恒成立，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，運用參數(shù)分離法，求出a的范圍；再求關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對于任意x∈（1，+∞）恒成立的a的范圍．運用同樣的參數(shù)分離法，求最值，即可求出a的范圍．注意最后求交集．

解答： 解：當x∈（0，1]時，g（x）=log₂x≤0，
∵關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對于任意x∈（0，1]恒成立，
∴f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤

1

x

恒成立，則2a≤1，即a≤

1

2

；
當x＞1時，g（x）=log₂x＞0，
∵關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對于任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）=3ax-1≥0在（1，+∞）恒成立，即有3a≥

1

x

恒成立，則3a≥1，即a≥

1

3

．
∵關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對于任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴a的取值范圍是：[

1

3

，

1

2

]．
故答案為：[

1

3

，

1

2

]．

點評：本題考查分段函數(shù)和運用，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和應用，考查不等式的恒成立問題，運用參數(shù)分離法，求最值，屬于中檔題．