Question

已知⊙和點.

(Ⅰ)過點向⊙引切線，求直線的方程；

(Ⅱ)求以點為圓心，且被直線截得的弦長為4的⊙的方程；

(Ⅲ)設(shè)為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 

（Ⅲ）可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標(biāo)為時，比值為；

點的坐標(biāo)為時，比值為

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設(shè)切線方程為 ，易得，解得……4分

∴切線方程為 

（Ⅱ）圓心到直線的距離為,設(shè)圓的半徑為，則,

∴⊙的方程為 

（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點，點的坐標(biāo)為，相應(yīng)的定值為，

根據(jù)題意可得，∴,

即  （*），

又點在圓上∴，即，代入（*）式得：

  

若系數(shù)對應(yīng)相等，則等式恒成立，∴，

解得 

∴可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標(biāo)為時，比值為；

點的坐標(biāo)為時，比值為

考點：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程，直線與圓的位置關(guān)系。

點評：中檔題，涉及圓的題目，在近些年高考題中是屢有考查，求圓標(biāo)準(zhǔn)方程，研究直線與圓的位置關(guān)系。求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考慮定義法、待定系數(shù)法。涉及直線于圓位置關(guān)系問題，往往應(yīng)用韋達(dá)定理或充分利用“特征三角形”，通過半徑、弦長一半、圓心到弦的距離，建立方程（組）。