Question

已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，定義向量=（2sinB，），，且⊥，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（2）如果b=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直，得到兩向量數(shù)量積為0求出B的度數(shù)，
（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，將B的度數(shù)代入，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出x的范圍即可；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用基本不等式變形后，求出ac的最大值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將ac的最大值代入計(jì)算即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：∵向量=（2sinB，），=（2cos²-1，cos2B），且⊥，
∴•=2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+）=0，
∴2B+=kπ，即B=π-，k∈Z，
∵0＜B＜，∴B=，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-），
由2x-∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a²+c²-2accos=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=acsin≤4，
則△ABC面積的最大值為4．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角形面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．