Question

定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)或中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均有f(x)=-f(x+

3

2

)且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2009）的值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意需要反復(fù)給x恰當(dāng)?shù)闹荡��?span id="80up88c" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=-f(x+

3

2

)，求出函數(shù)的周期，再由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)成中心對(duì)稱，得到關(guān)系式f（-

3

4

+x）=-f（-

3

4

-x），利用條件和給x恰當(dāng)?shù)闹登蟪龊瘮?shù)在一個(gè)周期上的函數(shù)值，故求出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值的和，根據(jù)函數(shù)的周期求式子的值．

解答：解：由f（x+

3

2

）=-f（x），得f（x+3）=f[（x+

3

2

）+

3

2

]=-f（x+

3

2

）=f（x），則有周期T=3．
又∵f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)成中心對(duì)稱，即f（-

3

4

+x）=-f（-

3

4

-x），
令x=

1

4

代入上式，得f（-

1

2

）=-f（-1），即f（1）=f（-

1

2

+

3

2

）=-f（-

1

2

）=f（-1）=1，
∵f（-1）=1，f（0）=-2，函數(shù)的周期是3，
∴f（1+3k）=f（-2）=1，f（2+3k）=f（-1）=1，f（3+3k）=f（0）=-2，其中k是任意整數(shù)．
則f（1）+f（2）+…+f（2009）=

2007

3

[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=669×（1+1-2）+f（1）+f（2）=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道抽象函數(shù)問題，題目的設(shè)計(jì)“小而巧”，解題的關(guān)鍵是巧妙的賦值，利用其奇偶性得到函數(shù)的周期性，再利用周期性求函數(shù)值．靈活的“賦值法”和反復(fù)利用恒等式是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．