Question

已知每條棱長(zhǎng)都為3的直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD₁上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)．則MN中點(diǎn)P的軌跡與該直平行六面體表面所圍成的幾何體中較小體積值為（　�。�

• A．

  π

  9

• B．

  2π

  9

• C．

  π

  3

• D．

  4π

  9

Answer 1

分析：根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長(zhǎng)度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分．即可求出結(jié)果．

解答：解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，（N與D不重合）連接N點(diǎn)與D點(diǎn)
由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
N與D重合也滿足題意，∠ADC=120°
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D中心，半徑為1的半球的

1

3

．
所以所求體積為：

1

3

×

1

2

×

4

3

π=

2π

9

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計(jì)算公式．考查空間想象能力，計(jì)算能力．