Question

設(shè)P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²構(gòu)成了一個公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點，記S_n=a₁+a₂+…+a_n。
（1）若C的方程為，n=3，點P₁（3，0）及S₃=255，求點P₃的坐標(biāo)；（只需寫出一個）
（2）若C的方程為（a＞b＞0），點P₁（a，0），對于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時，求S_n的最小值；
（3）請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P₁，對于給定的自然數(shù)n，寫出符合條件的點P₁，P₂，…P_n存在的充要條件，并說明理由。

Answer 1

解：（1）a₁=²=100，
由S₃=（a₁+a₃）=255，
得a₃=³=70
由，得
∴點P₃的坐標(biāo)可以為（2，）。
（2）原點O到二次曲線C：（a>b>0）上各點的最小距離為b，最大距離為a
∵a₁=²=a²，
∴d＜0，且a_n=²=a²+（n-1）d≥b²，
∴≤d＜0
∵n≥3，>0
∴S_n=na²+d在[，0）上遞增，
故S_n的最小值為na²+·=。
（3）若雙曲線C：，點P₁（a，0），則對于給定的n，點P₁，P₂，…P_n存在的充要條件是d>0
∵原點O到雙曲線C上各點的距離h∈[，+∞），且=a²，
∴點P₁，P₂，…P_n存在當(dāng)且僅當(dāng)²>²，即d>0。