Question

已知向量=（sinx，-1），向量=（cosx，-），函數f（x）=（+）•．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，A為銳角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量的數量積的坐標運算結合三角函數的降次公式、輔助角公式，將函數化簡整理得f（x）=sin（2x-）+2，由此不難用三角函數的周期公式，求出f（x）的最小正周期T；
（2）根據正弦函數的單調性與最值，得到f（x）在x=時取得最大值，從而得到A=，在△ABC內用余弦定理列出關于邊b的方程，解之即得b的值，最后用面積正弦定理的公式可求出△ABC的面積S．
解答：解：∵向量=（sinx，-1），向量=（cosx，-），
∴+=（sinx+cosx，-），
由此可得f（x）=（+）•=sinx（sinx+cosx）+=sin²x+sinxcosx+
∵sin²x=，sinxcosx=sin2x
∴f（x）=sin2x-cos2x+2=sin（2x-）+2
（1）根據三角函數的周期公式，得周期T==π；
（2）f（A）=sin（2A-）+2，當A∈[0，]時，f（A）的最大值為f（）=3
∴銳角A=，根據余弦定理，得cosA==，可得b²+c²-a²=bc
∵a=2，c=4，
∴b²+16-12=4b，解之得b=2
根據正弦定理，得△ABC的面積為：S=bcsinA=×2×4sin=2．
點評：本題以向量的數量積運算為載體，著重考查了三角函數的降次公式、輔助角公式和用正余弦定理解三角形等知識，屬于基礎題．