Question

將一個(gè)正整數(shù)n表示為a₁+a₂+…+a_p（p∈N*）的形式，其中a_i∈N*，i=1，2，…，p，且a₁≤a₂≤…≤a_p，記所有這樣的表示法的種數(shù)為f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
（Ⅰ）寫出f（3），f（5）的值，并說明理由；
（Ⅱ）對任意正整數(shù)n，比較f（n+1）與的大小，并給出證明；
（Ⅲ）當(dāng)正整數(shù)n≥6時(shí)，求證：f（n）≥4n-13．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，3=3，3=1+2，3=1+1+1，可求得f（3）=3；同理可求得f（5）=7；
（Ⅱ）結(jié)論是f（n+1）≤[f（n）+f（n+2）]．可用分析法，只需證f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）；通過構(gòu)造函數(shù)的思想分析即可；
（Ⅲ）由第（Ⅱ）問可知：當(dāng)正整數(shù)m≥6時(shí)，f（m）-f（m-1）≥f（m-1）-f（m-2）≥…≥f（6）-f（5）；而f（6）=11，f（5）=7，于是 f（m）-f（m-1）≥4*；分別取m為6，7，…，n，將所得等式相加即可．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f（3）=3．
因?yàn)?=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，
所以f（5）=7．
（Ⅱ）結(jié)論是f（n+1）≤[f（n）+f（n+2）]．
證明如下：由結(jié)論知，只需證f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．
因?yàn)閚+1≥2，把n+1的一個(gè)表示法中a₁=1的a₁去掉，就可得到一個(gè)n的表示法；反之，在n的一個(gè)表示法前面添加一個(gè)“1+”，就得到一個(gè)n+1的表示法，即n+1的表示法中a₁=1的表示法種數(shù)等于n的表示法種數(shù)，
所以f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a₁≠1的表示法數(shù)，f（n+2）-f（n+1）是n+2的表示法中a₁≠1的表示法數(shù)．
同樣，把一個(gè)a₁≠1的n+1的表示法中的a_p加上1，就可得到一個(gè)a₁≠1的n+2的表示法，這樣就構(gòu)造了從a₁≠1的n+1的表示法到a₁≠1的n+2的表示法的一個(gè)對應(yīng)．
所以有f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．
（Ⅲ）由第（Ⅱ）問可知：
當(dāng)正整數(shù)m≥6時(shí)，f（m）-f（m-1）≥f（m-1）-f（m-2）≥…≥f（6）-f（5）．
又f（6）=11，f（5）=7，所以 f（m）-f（m-1）≥4．*
對于*式，分別取m為6，7，…，n，將所得等式相加得f（n）-f（5）≥4（n-5）．
即f（n）≥4n-13．
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查創(chuàng)新思維與抽象思維的高度結(jié)合，考查構(gòu)造函數(shù)思想與推理論證的能力，屬于難題．