已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，且過點(diǎn)(2，
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是橢圓C上的四個(gè)不同的點(diǎn)，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且這兩條直線互相垂直，求證：
1
|MN|
+
1
|PQ|
為定值．
（Ⅰ）由已知e=
c
a
=
2
2
，得
b2
a2
=
a2-c2
a2
=1-e2=
1
2
．
所以a2=2b2．
所以C：
x2
2b2
+
y2
b2
=1，即x2+2y2=2b2．
因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(2，
2
)，所以22+2(
2
)2=2b2，
得b2=4，a2=8．
所以橢圓C的方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
根據(jù)題意，可設(shè)直線MN的方程為y=k（x+2），
由于直線MN與直線PQ互相垂直，則直線PQ的方程為y=-
1
k
(x-2)．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．
由方程組
y=k(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0．
則 x1+x2=
-8k2
2k2+1
，x1x2=
8k2-8
2k2+1
．
所以|MN|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k2)
2k2+1
．
同理可得|PQ|=
4
2
(1+k2)
k2+2
．
所以
1
|MN|
+
1
|PQ|
=
2k2+1
4
2
(1+k2)
+
k2+2
4
2
(1+k2)
=
3k2+3
4
2
(1+k2)
=
3
2
8
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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