設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并且對于所有的正整數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

(1)寫出{an}的前3項;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

(1)解:由題意知,當(dāng)n=1時,有=,S1=a1,所以=,解得a1=2.

當(dāng)n=2時,有=,S2=a1+a2=2+a2

代入整理得

(a2-2)2=16.

由a2>0得a2=6.

當(dāng)n=3時,有=,S3=a1+a2+a3=8+a3,

代入整理有(a3-2)2=64.由a3>0得a3=10.

故該數(shù)列前3項依次為2,6,10.

(2)解法一:由(1)猜想{an}有通項公式an=4n-2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=1時,a1=2,4×1-2=2.

所以當(dāng)n=1時結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即ak=4k-2.

由題意=,將ak=4k-2代入,解得Sk=2k2                              ①

由題意得=,                                                                 ②

Sk+1=Sk+ak+1=2k2+ak+1,                                                                 ③

把①③代入②得ak+12-4ak+1+4-16k2=0.

又ak+1>0,所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2,

所以n=k+1時結(jié)論成立.

根據(jù)①②知,對所有的正整數(shù)n均有an=4n-2.

解法二:由已知=,得Sn=(an+2)2

所以Sn+1=(an+1+2)2.

所以an+1=Sn+1-Sn=[(an+1+2)2-(an+2)2],

整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0.

又an+1+an>0,

所以an+1-an-4=0,即an+1-an=4.

所以{an}是等差數(shù)列,其中a1=2,

公差d=4,

所以an=a1+(n-1)d

=2+(n-1)×4=4n-2.


練習(xí)冊系列答案
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設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并且對于所有的自然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.
(1)寫出數(shù)列{an}的前3項;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推證過程);
(3)令bn=
1
2
(
an+1
an
+
an
an+1
)(n∈N)
,求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn-n)

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設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,且對于所有的正整數(shù)n,有4Sn=(an+1)2
(I)求a1,a2的值;
(II)求數(shù)列{an}的通項公式;
(III)令b1=1,b2k=a2k-1+(-1)k,b2k+1=a2k+3k(k=1,2,3,…),求{bn}的前20項和T20

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設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并且對于所有的n∈N+,都有8Sn=(an+2)2
(1)寫出數(shù)列{an}的前3項;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推證過程);
(3)設(shè)bn=
4
anan+1
,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得Tn
m
20
對所有n∈N+都成立的最小正整數(shù)m的值.

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8
8

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設(shè){an } 是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,,所有的正整數(shù)n,滿足
an+2
2
=
2S n

(1)求a1、a2、a3;    
(2)猜想數(shù)列{an }的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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