Question

已知函數(shù)f(x)=

2x，(0≤x≤1) - 2 5 x+ 12 5 ，(1＜x≤5).

（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線kx-y-k+1=0有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）試求函數(shù)g（x）=xf（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合法即可求解，注意直線kx-y-k+1=0恒過定點(diǎn)（1，1）．
（2）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，求分段函數(shù)的值域，要先求函數(shù)在各段的值域，然后求并集即可．

解答：解：（1）直線kx-y-k+1=0，可化為y-1=k（x-1），所以該直線過定點(diǎn)M（1，1）．
如下圖所示：B（5，

2

5

），kMB=

1- 2 5

1-5

=-

3

20

，k_MO=1，
由圖象可知k_MB≤k≤k_MO，即-

3

20

≤k≤1．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[-

3

20

，1]．
（2）g（x）=xf（x）=

2x2，(0≤x≤1) - 2 5 x2+ 12 5 x，(1＜x≤5)

①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤g（x）≤2；
②當(dāng)1＜x≤5時(shí)，g（x）=-

2

5

(x-3)2+

18

5

，此時(shí)2≤g（x）≤

18

5

．
綜上，函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇0，

18

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及分段函數(shù)值域的求解．要深刻理解“三個(gè)二次”之間的關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用．