Question

已知圓心C在x軸上的圓過點A（2，2）和B（4，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點M（4，6）且與圓C相切的直線方程；
（3）已知線段PQ的端點Q的坐標(biāo)為（3，5），端點P在圓C上運動，求線段PQ的中點N的軌跡．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知求出線段AB的垂直平分線方程，令y=0，得x=2，即可求得圓心為C（2，0）．然后由兩點間的距離公式求得圓的半徑，則圓C的方程可求．或設(shè)出圓心為C（a，0），由|AC|=|BC|求得a，則圓心坐標(biāo)可求，再由半徑r=|BC|=|4-2|=2．則圓的方程可求；
（2）由（1）知圓C的圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑r=2，然后分與圓C相切的直線的斜率不存在和斜率存在求得與圓C相切的直線方程；
（3）設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，y），P點的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．由中點坐標(biāo)公式把P的坐標(biāo)用N的坐標(biāo)表示，然后代入圓C的方程求得點N的軌跡方程．

解答： 解：（1）線段AB的中點坐標(biāo)為M（3，1），斜率為kAB=

0-2

4-2

=-1，
∴線段AB的垂直平分線方程為y-1=x-3，即為y=x-2．
令y=0，得x=2，即圓心為C（2，0）．
由兩點間的距離公式，得r=

(2-2)2+22

=2．
∴適合題意的圓C的方程為（x-2）²+y²=4．
或：設(shè)圓心為C（a，0），由|AC|=|BC|得  

(a-2)2+22

=

(a-4)2

，
解得a=2，∴圓心為C（2，0）．
又半徑r=|BC|=|4-2|=2．
∴適合題意的圓C的方程為（x-2）²+y²=4；
（2）由（1）知圓C的圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑r=2，
（i）當(dāng)過點M（4，6）且與圓C相切的直線的斜率不存在時，其切線方程為x=4．
（ii）當(dāng)過點M（4，6）且與圓C相切的直線的斜率存在時，
設(shè)為k，則切線方程為kx-y-4k+6=0．
由圓心到切線的距離等于半徑，得

|2k-4k+6|

1+k2

=2，解得k=

4

3

，
∴切線方程為

4

3

x-y-4×

4

3

+6=0，即4x-3y+2=0．
因此，過點M（4，6）且與圓C相切的直線方程為x=4或4x-3y+2=0；
（3）設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，y），P點的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
由于Q點的坐標(biāo)為（3，5）且N為PQ的中點，∴x=

3+x0

2

，y=

5+y0

2

，
于是有x₀=2x-3，y₀=2y-5  ①，
∵P在圓C上運動，∴有(x0-2)2+

y

2 0

=4，
將①代入上式得（2x-3）²+（2y-5）²=4，即(x-

3

2

)2+(y-

5

2

)2=1．
∴點N的軌跡是以（

3

2

，

5

2

）為圓心，半徑為1的圓．

點評：本題考查了圓的方程的求法，考查了圓的切線方程的求法，訓(xùn)練了利用代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．