Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E在x軸上，若橢圓的離心率e=，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若過F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且與向量共線（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：與的夾角為．

Answer 1

【答案】分析：（1）跟橢圓的性質(zhì)及題意可知和的值，聯(lián)立方程可求得a和c，進(jìn)而根據(jù)b=求得b．
（2）根據(jù)（1）可求得橢圓的焦點(diǎn)可知直線不垂直于x軸，進(jìn)而可設(shè)直線AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線和橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出求得k的值，進(jìn)而可求得判斷夾角為90°
解答：解：（1）由題意知．
（2）由（1）知F（1，0），顯然直線不垂直于x軸，
可設(shè)直線AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
則=，
于是，
依題意：，故
又，
故，所以與的夾角為90°
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)問題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力．