Question

已知C₁的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

4

)=1，M，N分別為C₁在直角坐標(biāo)系中與x軸，y軸的交點(diǎn)．曲線C₂的參數(shù)方程為

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

（t為參數(shù)，且t＞0），P為M，N的中點(diǎn)，求過OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線與曲線C₂所圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：先將曲線C₁的化成直角坐標(biāo)方程，曲線C₂的普通方程和直線OP的直角坐標(biāo)方程，直線OP與曲線C₂的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后利用定積分的幾何意義求出直線OP與曲線C₂所圍成的封閉圖形的面積．

解答：解：曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x+y-

2

=0，（2分）
與x軸的交點(diǎn)為M(

2

，0)，N(0，

2

)，（3分）
消去參數(shù)t得到曲線C₂的普通方程為y=2-x²；
直線OP：y=x，（6分）
直線OP與曲線C₂的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁=-2，x₂=1，（8分）
則直線OP與曲線C₂所圍成的封閉圖形的
面積為S=

∫

-2 1

(2-x2-x)dx=(2x-

x3

3

-

x2

2

)

s

-2 1

=

9

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程、拋物線的參數(shù)方程、定積分在求面積中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．