(2010•中山一模)已知A、B、C是直線l上的不同的三點(diǎn),O是直線外一點(diǎn),向量
OA
OB
、
OC
滿足
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
,記y=f(x).
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)若x∈[
1
6
1
3
]
,a>ln
1
3
,證明:不等式|a-lnx|>ln[f′(x)-3x]成立;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=2x+b在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:(1)先根據(jù)
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
表示出向量
OA
,再由A,B,C三點(diǎn)共線可得到關(guān)系式
3
2
x2+1+ln(2+3x)-y=1
,整理即可得到答案.
(2)由x∈[
1
6
,
1
3
]
,a>ln
1
3
,可知a>lnx,由(1)得f/(x)-3x=
3
2+3x
>0
,所以要證原不等式成立,只須證:a>lnx+ln
3
2+3x
,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)在x∈[
1
6
,
1
3
]
上均單調(diào)遞增,則求出函數(shù)的最大值即可證得.
(3)將函數(shù)f(x)的解析式代入f(x)=2x+b中,整理可得
3
2
x2-2x+ln(2+3x)=b
,然后令 ?(x)=
3
2
x2-2x+ln(2+3x)
,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間,即可求得函數(shù)φ(x)的最小值,再根據(jù)在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出答案.
解答:解:(1)由題意,
OA
=(
3
2
x2+1)•
OB
+[ln(2+3x)-y]•
OC

∵A、B、C三點(diǎn)共線,
3
2
x2+1+ln(2+3x)-y=1

y=
3
2
x2+ln(2+3x)

(2)∵x∈[
1
6
,
1
3
]
,a>ln
1
3
,則a>lnx
又由(1)得,f/(x)=
3
2+3x
+3x
,x∈[
1
6
,
1
3
]
,則f/(x)-3x=
3
2+3x
>0

∴要證原不等式成立,只須證:a>lnx+ln
3
2+3x
(*)
設(shè)h(x)=lnx+ln
3
2+3x
=ln
3x
2+3x

h/(x)=
2+3x
3x
3(2+3x)-3x•3
(2+3x)2
=
2
x(2+3x)
>0

∴h(x)在x∈[
1
6
,
1
3
]
上均單調(diào)遞增,則h(x)有最大值h(
1
3
)=ln
1
3
,
又因?yàn)?span id="isa4ey8" class="MathJye">a>ln
1
3
,所以a>h(x)在x∈[
1
6
,
1
3
]
恒成立.
∴不等式(*)成立,即原不等式成立.
(3)方程f(x)=2x+b即
3
2
x2-2x+ln(2+3x)=b
,令?(x)=
3
2
x2-2x+ln(2+3x)
,
?/(x)=
3
2+3x
+3x-2=
9x2-1
2+3x
=
(3x+1)(3x-1)
2+3x

當(dāng)x∈(0,
1
3
)
時(shí),?′(x)<0,?(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(
1
3
,1)
時(shí),?′(x)>0,?(x)單調(diào)遞增,
∴?(x)有極小值為?(
1
3
)
=ln3-
1
2
即在[0,1]上的最小值.
又?(0)=ln2,?(1)=ln5-
1
2
,又ln5-
1
2
-ln2=ln
5
2
e
=
1
2
ln
25
4e
1
2
ln
25
4×3
>0

∴l(xiāng)n5-
1
2
>ln2.
∴要使原方程在[0,1]上恰有兩個(gè)不同實(shí)根,必須使ln3-
1
2
<b≤
ln2.
點(diǎn)評(píng):本題以向量為依托,考查向量在幾何中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性,解題的關(guān)鍵是利用 A、B、C共線時(shí),
OA
OB
+(1-λ)
OC
,建立等式,同時(shí)證明不等式時(shí)利用了分離參數(shù)法,也是我們應(yīng)該掌握的方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•中山一模)
0
-1
(x-ex)dx
=( 。

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