（2010•中山一模）已知A、B、C是直線l上的不同的三點(diǎn)，O是直線外一點(diǎn)，向量
OA
、
OB
、
OC
滿足
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[
1
6
，
1
3
]，a＞ln
1
3
，證明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
分析：（1）先根據(jù)
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
表示出向量
OA
，再由A，B，C三點(diǎn)共線可得到關(guān)系式
3
2
x2+1+ln(2+3x)-y=1，整理即可得到答案．
（2）由x∈[
1
6
，
1
3
]，a＞ln
1
3
，可知a＞lnx，由（1）得f/(x)-3x=
3
2+3x
＞0，所以要證原不等式成立，只須證：a＞lnx+ln
3
2+3x
，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在x∈[
1
6
，
1
3
]上均單調(diào)遞增，則求出函數(shù)的最大值即可證得．
（3）將函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得
3
2
x2-2x+ln(2+3x)=b，然后令 ?(x)=
3
2
x2-2x+ln(2+3x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間，即可求得函數(shù)φ（x）的最小值，再根據(jù)在[0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出答案．
解答：解：（1）由題意，
OA
=(
3
2
x2+1)•
OB
+[ln(2+3x)-y]•
OC

∵A、B、C三點(diǎn)共線，
∴
3
2
x2+1+ln(2+3x)-y=1
∴y=
3
2
x2+ln(2+3x)
（2）∵x∈[
1
6
，
1
3
]，a＞ln
1
3
，則a＞lnx
又由（1）得，f/(x)=
3
2+3x
+3x，x∈[
1
6
，
1
3
]，則f/(x)-3x=
3
2+3x
＞0
∴要證原不等式成立，只須證：a＞lnx+ln
3
2+3x
（*）
設(shè)h(x)=lnx+ln
3
2+3x
=ln
3x
2+3x
．
∵h/(x)=
2+3x
3x
•
3(2+3x)-3x•3
(2+3x)2
=
2
x(2+3x)
＞0
∴h（x）在x∈[
1
6
，
1
3
]上均單調(diào)遞增，則h（x）有最大值h(
1
3
)=ln
1
3
，
又因?yàn)?span id="isa4ey8" class="MathJye">a＞ln
1
3
，所以a＞h（x）在x∈[
1
6
，
1
3
]恒成立．
∴不等式（*）成立，即原不等式成立．
（3）方程f（x）=2x+b即
3
2
x2-2x+ln(2+3x)=b，令?(x)=
3
2
x2-2x+ln(2+3x)，
∴?/(x)=
3
2+3x
+3x-2=
9x2-1
2+3x
=
(3x+1)(3x-1)
2+3x

當(dāng)x∈(0，
1
3
)時(shí)，?′（x）＜0，?（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(
1
3
，1)時(shí)，?′（x）＞0，?（x）單調(diào)遞增，
∴?（x）有極小值為?(
1
3
)=ln3-
1
2
即在[0，1]上的最小值．
又?（0）=ln2，?(1)=ln5-
1
2
，又ln5-
1
2
-ln2=ln
5
2
e
=
1
2
ln
25
4e
＞
1
2
ln
25
4×3
＞0
∴l(xiāng)n5-
1
2
＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個(gè)不同實(shí)根，必須使ln3-
1
2
＜b≤ln2．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量為依托，考查向量在幾何中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用 A、B、C共線時(shí)，
OA
=λ
OB
+（1-λ）
OC
，建立等式，同時(shí)證明不等式時(shí)利用了分離參數(shù)法，也是我們應(yīng)該掌握的方法．
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（2010•中山一模）
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