Question

已知數列{a_n}滿足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n為奇數 an-2n，n為偶數

（Ⅰ）求a₂•a₃；
（Ⅱ）設b_n=a_2n-2，n∈N^*，求證：數列{b_n}是等比數列，并求其通項公式；
（Ⅲ）求數列{a_n}前100項中所有奇數項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a₁=1，利用數列遞推式，n=1時，a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

；n=2時，a₃=a₂-4=-

5

2

；故可求a₂•a₃的值；
（Ⅱ）b₁=a₂-2=-

1

2

，且

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-2×2n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，故可得數列{b_n}是以-

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，從而可求其通項公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a2n=2-(

1

2

)n，當n=2k時，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49），從而可求數列{a_n}前100項中所有奇數項的和．

解答：（Ⅰ）解：a₁=1，n=1時，a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

；n=2時，a₃=a₂-4=-

5

2

；
∴a₂•a₃=-

15

4

（Ⅱ）證明：b₁=a₂-2=-

1

2

，且

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-2×2n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

∴數列{b_n}是以-

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列；
∴bn=-

1

2

(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得a2n=2-(

1

2

)n
∵當n=2k時，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49）
∴數列{a_n}前100項中所有奇數項的和為1-2×（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=(

1

2

)49-4802

點評：本題考查數列的遞推式，考查等比數列的定義，考查數列的求和，解題的關鍵是構造新數列，屬于中檔題．