【題目】在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊，若把沿邊折疊到的位置，使平面平面．

（1）證明：．

（2）若為棱的中點，求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直，可知平面，進而可證.

（2）為坐標原點，，分別為，軸的正方向，過點平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，設，即可得，，，從而可求出平面的法向量，平面的法向量，進而可求二面角的余弦值.

（1）證明：因為是等腰直角三角形，為斜邊，所以．

因為平面平面，平面平面，所以平面．

因為平面，所以．

（2）解：由（1）知，平面，則以為坐標原點，

，分別為，軸的正方向，過點平行于的直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則，，，，，

故，，．

設平面的法向量，則，

令，得．

設平面的法向量，則，

令，得，則．

由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個頂點構成的四邊形的面積是.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)過點，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點，為的中點，直線與橢圓交于，兩點（是坐標原點），若四邊形的面積為，求直線的方程.

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【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，有下列四個結論：

①AP與CM是異面直線；②AP，CM，DD1相交于一點；③MN∥BD1；

④MN∥平面BB1D1D．

其中所有正確結論的編號是（　　）

A.①④B.②④C.①④D.②③④

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【題目】已知橢圓：的離心率為，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，在直線上存在點，使三角形為正三角形，求的最大值.

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【題目】如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，，D為BC的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上任意一點到其兩個焦點，的距離之和等于，且圓經(jīng)過橢圓的焦點．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，若直線與圓O相切，且與橢圓相交于A，B兩點，直線與平行且與橢圓相切于點M（O，M位于直線的兩側）．記，的面積分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在等差數(shù)列{an}中,已知a1+a3＝12,a2+a4＝18,n∈N*.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）求a3+a6+a9+…+a3n.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在全面建成小康社會的決勝階段，讓貧困地區(qū)同全國人民共同進入全面小康社會是我們黨的莊嚴承諾.在“脫真貧、真脫貧”的過程中，精準扶貧助推社會公平顯得尤其重要.若某農(nóng)村地區(qū)有200戶貧困戶，經(jīng)過一年扶貧后，對該地區(qū)的“精準扶貧”的成效檢查驗收.從這200戶貧困戶中隨機抽出50戶，對各戶的人均年收入（單位：千元）進行調查得到如下頻數(shù)表：

人均年收入

頻數(shù)

2

3

10

20

10

5

若人均年收入在4000元以下的判定為貧困戶，人均年收入在4000元～8000元的判定為脫貧戶，人均年收入達到8000元的判定為小康戶.

（1）用樣本估計總體，估計該地區(qū)還有多少戶沒有脫貧；

（2）為了了解未脫貧的原因，從抽取的50戶中用分層抽樣的方法抽10戶進行調研.

①貧困戶、脫貧戶、小康戶分別抽到的人數(shù)是多少？

②從被抽到的脫貧戶和小康戶中各選1人做經(jīng)驗介紹，求小康戶中人均年收入最高的一戶被選到的概率.

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