Question

己知圓C：（x-2）²+y²=9，直線l：x+y=0．
（1）求與圓C相切，且與直線l平行的直線m的方程；
（2）若直線n與圓C有公共點(diǎn)，且與直線l垂直，求直線n在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩直線平行時(shí)斜率相等，根據(jù)直線l方程設(shè)所求切線方程為x+y+c=0，由直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離d等于圓的半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，即可確定出直線m的方程；
（2）根據(jù)直線l與所求直線垂直，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，設(shè)直線n方程為y=x+b，代入圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線l與圓C有公共點(diǎn)，得到根的判別式的值大于等于0列出關(guān)于b的不等式，求出不等式的解集即可得到b的范圍．

解答：解：（1）∵直線m∥直線x+y=0，
∴設(shè)m：x+y+c=0，
∵直線m與圓C相切，
∴3=

|2+0+c|

2

，
解得：c=-2±3

2

，
得直線m的方程為：x+y-2+3

2

=0或x+y-2-3

2

=0；
（2）由條件設(shè)直線n的方程為：y=x+b，
代入圓C方程整理得：2x²+2（b-2）x+b²-5=0，
∵直線l與圓C有公共點(diǎn)，
∴△=4（b-2）²-8（b²-5）=-4b²-16b+56≥0，即b²+4b-14≤0，
解得：-2-3

2

≤b≤-2+3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，兩直線平行、垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題第一問的關(guān)鍵．