Question

已知數(shù)列{ a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-l；數(shù)列{b_n}滿足b_n-1-b_n=b_nb_n-1（n≥2，n∈N^*）b₁=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項和T．

Answer 1

（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
又當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
∴an=1×2n-1=2n-1(n∈N*)．
由b_n-1-b_n=b_nb_n-1，得

1

bn

-

1

bn-1

=1．
又b₁=1，所以數(shù)列{

1

bn

}是首項為

1

b1

=

1

1

=1，公差為1的等差數(shù)列．
∴

1

bn

=1+(n-1)×1=n．
∴bn=

1

n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

an

bn

=n•2n-1，
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+…+n•2^n-1，
2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，．
兩式相減，得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=

1×(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ．
∴Tn=(n-1)•2n+1．