精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

我們知道,圓是平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡,由此可以判斷一點與一個圓的位置關系——當該點到圓心的距離等于半徑時,該點在該圓上;當該點到圓心的距離小于半徑時,該點在該圓內;當該點到圓心的距離大于半徑時,該點在該圓外.你能根據橢圓的定義來判斷一個點相對于一個橢圓的位置關系嗎?如果能,應該如何判斷?

答案:
解析:

  解:當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和等于2a時,該點位于這個橢圓上;當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和小于2a時,該點位于這個橢圓內;當一個點到一個橢圓的兩個焦點的距離的和大于2a時,該點位于這個橢圓外.

  同樣,直線與圓的位置關系的判斷方法是:直線與圓(橢圓)方程聯立,得到關于x(或y)的一元二次方程,當這個一元二次方程的Δ<0,相離;Δ=0,相切;Δ>0,相交.還可以依據圓心到直線的距離d與其半徑r間的大小關系來判斷直線與圓的位置關系:當d=r時,直線與圓相切;當d>r時,直線與圓相離;當d<r時,直線與圓相交.你能由此進一步得到判斷直線與橢圓的位置關系的方法嗎?

  當焦點F1、F2在直線l的異側時,PF1+PF2≥MF1+MF2(其中點P是直線l上任意一點,M是直線l與直線F1F2的交點),即直線l上任意點到兩焦點F1、F2的距離和最小是MF1+MF2F2(其中點是點F1關于直線l的對稱點),若F2>2a,則相應直線l與橢圓相離;若F2=2a,則相應直線l與橢圓相切;若F2<2a,則相應直線l與橢圓相交.

  同理,當焦點、F2在直線l的同側時,也有上述F2M+F2M=F1M+F2M=F1F2=2c<2a,

  綜上所述,設橢圓C:=1(a>b>0)的焦點為F1、F2,直線l:Ax+By+C=0,點是點F1關于直線l的對稱點,則有F2>2a直線l與橢圓C相離;F2=2a直線l與橢圓C相切;F2<2a直線l與橢圓C相交.

  思路解析:根據橢圓的定義,平面內到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數2a(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓,類比一個點與圓的位置關系的判斷可知.


練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:全優(yōu)設計選修數學-1-1蘇教版 蘇教版 題型:044

我們知道,圓是平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡,因此可以判斷一點與一個圓的位置關系——當該點到圓心的距離等于半徑時,該點在該圓上;當該點到圓心的距離小于半徑時,該點在該圓內;當該點到圓心的距離大于半徑時,該點在該圓上外.你能根據橢圓的定義來判斷一個點相對于一個橢圓的位置關系嗎?如果能,應該如何判斷?

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:選修設計數學1-1北師大版 北師大版 題型:044

我們知道,圓是平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡,由此可以判斷一點與一個圓的位置關系——當該點到圓心的距離等于半徑時,該點在該圓上;當該點到圓心的距離小于半徑時,該點在該圓內;當該點到圓心的距離大于半徑時,該點在該圓外.你能根據橢圓的定義來判斷一個點相對于一個橢圓的位置關系嗎?如果能,應該如何判斷?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案