(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

如圖,正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,

(I)求證:;

(II)設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為,求證:

(III)求二面角的大小。

【解析】解法一:

因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因?yàn)楱SABE為等腰直角三角形,AB=AE,

所以∠AEB=45°,

又因?yàn)椤螦EF=45,

所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.

因?yàn)锽C平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以

    …………………………………………6分

(II)取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC

∴  PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN.

∵  CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),

∴  PM∥平面BCE.                  …………………………………………8分

(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BD⊥FH.

∴  ∠FHG為二面角F-BD-A的平面角.

∵  FA=FE,∠AEF=45°,

∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

,                                         

在Rt⊿FGH中, ,

∴  二面角的大小為

                      …………………………………………12分                                         

解法二: 因等腰直角三角形,,所以

 
又因?yàn)槠矫?sub>,所以⊥平面,

所以

兩兩垂直;如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

 (I) 設(shè),則,

,∴,

從而                                         

,

于是,

         ∴,

       ∵平面,平面

       ∴

(II),從而

     于是

     ∴,又⊥平面,直線不在平面內(nèi),

      故∥平面

(III)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,并設(shè)=(

      

         即

   取,則,,從而=(1,1,3)

  取平面D的一個(gè)法向量為

                                             

故二面角的大小為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009四川卷文)設(shè)矩形的長為,寬為,其比滿足,這種矩形給人以美感,稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本:

甲批次:0.598   0.625   0.628   0.595   0.639

乙批次:0.618   0.613   0.592   0.622   0.620

根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù),與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較,正確結(jié)論是

  A. 甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

  B. 乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

  C. 兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同

  D. 兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定

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甲批次:0.598   0.625   0.628   0.595   0.639

乙批次:0.618   0.613   0.592   0.622   0.620

根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù),與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較,正確結(jié)論是

  A. 甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

  B. 乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

  C. 兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同

  D. 兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

 
如圖,正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,

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求證:

(III)求二面角的大小。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年度新課標(biāo)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)單元測試2-必修5第3章 題型:選擇題

 (2009四川卷文)已知,,為實(shí)數(shù),且.則“”是“”的                                                                   (    )

   A.充分而不必要條件                   B.必要而不充分條件

   C.充要條件                           D.既不充分也不必要條件

 

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