Question

已知a∈R，函數f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈[0，2]時，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出原函數的導函數，求出函數取x=1時的導數值及f（1），由直線方程的點斜式寫出切線方程；
（2）求出原函數的導函數，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三種情況求|f（x）|的最大值．特別當0＜a＜1時，仍需要利用導數求函數在區(qū)間（0，2）上的極值，然后在根據a的范圍分析區(qū)間端點值與極值絕對值的大�。�
解答：解：（1）因為f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f^′（x）=3x²-6x+3a，
故f^′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a-3）x-3a+4；
（2）由于f^′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故當a≤0時，有f^′（x）≤0，此時f（x）在[0，2]上單調遞減，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
當a≥1時，有f^′（x）≥0，此時f（x）在[0，2]上單調遞增，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a-1．
當0＜a＜1時，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得，．
所以，當x∈（0，x₁）時，f^′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，f^′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（x₂，2）時，f^′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
所以函數f（x）的極大值，極小值．
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，．
從而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
當0＜a＜時，f（0）＞|f（2）|．
又=
故．
當時，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又=．
所以當時，f（x₁）＞|f（2）|．
故．
當時，f（x₁）≤|f（2）|．
故f（x）_max=|f（2）|=3a-1．
綜上所述|f（x）|_max=．
點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，正確的分類是解答（2）的關鍵，此題屬于難題．