Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|x|，若函數(shù)y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3，則a的范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，再把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用圖象直接得結(jié)論．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，
又x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|x|，
根據(jù)函數(shù)的周期性畫出圖形，如圖，
再在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=log_ax，的簡圖，
將函數(shù)y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象無交點(diǎn)，因此不符合題意；
當(dāng)a＞1時(shí)，且函數(shù)y=log_ax圖象過點(diǎn)（3，1）時(shí)恰有二個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，a=3；
當(dāng)函數(shù)y=log_ax圖象過點(diǎn)A（5，1）時(shí)恰有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，a=5
若函數(shù)y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3
∴a的取值范圍為（3，5）
故答案為（3，5）
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用、利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求變量的取值范圍．是道中檔題．