Question

若直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)（m，n）的直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．至多一個(gè)
B．0個(gè)
C．1個(gè)
D．2個(gè)

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意可知原點(diǎn)到直線mx+ny-4=0的距離大于等于 2求得m和n的范圍可推斷點(diǎn)P（m，n）是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x²+y²=4內(nèi)切于橢圓，進(jìn)而可知點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，進(jìn)而判斷可得答案．
解答：解：因?yàn)橹本�mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，
所以原點(diǎn)到直線mx+ny-4=0的距離d=＞2，
所以m²+n²＜4，
所以點(diǎn)P（m，n）是在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)．
∵橢圓的長半軸 3，短半軸為 2
∴圓x²+y²=4內(nèi)切于橢圓
∴點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)
∴過點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，解決此類問題可采用數(shù)形結(jié)合的方法較為直觀．