Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-x²+ax+b．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求參數(shù)a的取值范圍．
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取處極值，且x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜b²+b恒成立，求參數(shù)b  的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線與橫軸平行，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得到函數(shù)等于0有實(shí)根，得到關(guān)于一元二次方程的判別式，求出結(jié)果．
（2）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，知x=1是方程f^′（x）=0的一個(gè)根，得到字母系數(shù)的值，求出兩一個(gè)根，求出函數(shù)的最值，進(jìn)行比較．得到關(guān)于b的不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）∵f^′（x）=6x²-2x+a
∴方程f^′（x）=0有實(shí)根，（4分）
∴△=4-4×6a≥0，
∴a≤

1

6

  （2）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
知x=1是方程f^′（x）=0的一個(gè)根，
所以a=-4
∴方程f^′（x）=0的另一個(gè)根為-

2

3

∴當(dāng)x＜-

2

3

或x＞1時(shí)，f^′（x）＞0，
當(dāng)-

2

3

＜x＜1時(shí)，f^′（x）＜0，
∴f（x）有極大值

44

27

+b
而f（2）=4+b＞

44

27

+b＞f（-1）=1+b
∴當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值是4+b
∵f（x）＜b²+b恒成立，即有4+b＜b²+b成立
解得b＜-2或b＞2
∴參數(shù)b的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造不等式，整理出要用的結(jié)果，是一個(gè)綜合題目．