Question

已知a，b是實數(shù)，二次方程x²-ax+b=0的一個根在[-1，1]上，另一個根在[1，2]上，則a-2b的最大值為

5

．

Answer 1

分析：先將方程的根的分布問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題，數(shù)形結(jié)合得關(guān)于a、b的線性約束條件，畫出可行域，數(shù)形結(jié)合求目標函數(shù)z=a-2b的最優(yōu)解即可

解答：解：設(shè)f（x）=x²-ax+b，二次方程x²-ax+b=0的一個根在[-1，1]上，另一個根在[1，2]上，即函數(shù)f（x）的零點一個在[-1，1]上，另一個在[1，2]上
∴

f(-1)≥0 f(1)＜0 f(2)≥0

即

1+a+b≥0 1-a+b＜0 4-2a+b≥0

其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分：
由

1+a+b=0 4-2a+b=0

得B（1，-2）
設(shè)z=a-2b，則目標函數(shù)z可看作斜率為

1

2

的動直線在一軸上的截距的相反數(shù)，
數(shù)形結(jié)合可知當動直線過點B（1，-2）時，z最大為1-2×（-2）=5
故答案為 5

點評：本題主要考查了一元二次方程根的分布問題的解法，用簡單線性規(guī)劃的思想求目標函數(shù)最值的方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法