Question

為了完成綠化任務，某林區(qū)改變植樹計劃，第一年的植物增長率為200%，以后每年的植樹增長率都是前一年植樹增長率的

1

2

．
（1）假設成活率為100%，經(jīng)過4年后，林區(qū)的樹木數(shù)量是原來樹木數(shù)量的多少倍？
（2）如果每年都有5%的樹木死亡，那么經(jīng)過多少年后，林區(qū)的樹木數(shù)量開始下降？

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意知增長率形成首項為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而第n年的增長率為

1

2n-2

，則第n年的林區(qū)的樹木數(shù)量為a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1，求解即可．
（2）設經(jīng)過n年后，林區(qū)的樹木數(shù)量開始減少，由于a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1（1-5%）=

19

20

（1+

1

2n-2

）a_n-1．由a_n≥a_n-1，a_n≥a_n+1，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）增長率形成首項為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而第n年的增長率為

1

2n-2

，
則第n年的林區(qū)的樹木數(shù)量為a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1，
∴a₁=3a₀，a₂=6a₀，a₃=9a₀，a₄=

5

4

a₃=

45

4

a₀；
（2）設經(jīng)過n年后，林區(qū)的樹木數(shù)量開始減少，由于a_n=（1+

1

2n-2

）a_n-1（1-5%）=

19

20

（1+

1

2n-2

）a_n-1．
由a_n≥a_n-1，a_n≥a_n+1，可得19≤2^n-2≤38，∴n=7．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答．