Question

（04年北京卷理）（14分）

如圖，在正三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M的最短路線長為，設這條最短路線與CC₁的交點為N，求：

（I）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；

（II）PC和NC的長；

（III）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數表示）。

 

Answer 1

解析：（I）正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為。

（II）如圖1，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連接MP₁，則MP₁就是由點P沿棱柱側面經過棱CC₁到點M的最短路線。

設PC=x，則P₁C=x在Rt△MAP₁中，由勻股定理得(3+x)²+2²=29，

求得x=2.

∴PC=P₁C=2.

∵，

∴NC=

（III）如圖2，連接PP₁，則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，連結CH，由三垂線定理得，CH⊥PP₁.

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）.

在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP₁=60°，

∴CH==1

在Rt△NCH中，tg∠NHC=，

故平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為arctg.