已知△ABC的角A、B、C，所對的邊分別是a、b、c，且C=
π
3
，設(shè)向量
m
=(a，b)，
n
(sinB，sinA)，
p
=(b-2，a-2)．
（1）若
m
∥
n
，求B；
（2）若
m
⊥
p
，S△ABC=
3
，求邊長c．
分析：（1）由
m
∥
n
，利用兩個向量平行的性質(zhì)可得asinA=bsinB，再由正弦定理可得 a2=b2，故a=b．再由C=
π
3
，可得△ABC為等邊三角形，可得B的值．
（2）由
m
⊥
p
，可得
m
•
p
=0，化簡可得 a+b=ab．由S△ABC=
3
，可得ab=4．再由余弦定理求得 c2的值，從而得到c的值．
解答：證明：（1）∵
m
∥
n
，
m
=(a，b)，
n
(sinB，sinA)，
p
=(b-2，a-2)，
∴asinA=bsinB，再由正弦定理可得 a2=b2，∴a=b．
又C=
π
3
，∴△ABC為等邊三角形，故B=
π
3
．
（2）∵
m
⊥
p
，∴
m
•
p
=ab-2a+ab-2b=0，化簡可得 a+b=ab ①．
由S△ABC=
3
，可得
1
2
ab•sinC=
1
2
ab×
3
2
=
3
，∴ab=4 ②．
再由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab•cosC=（a+b）2-3ab=16-12=4，故 c=2．
點評：本題主要考查兩個向量平行和垂直的性質(zhì)，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量
m
=(a，b)，
n
=(sinB，sinA)，
p
=(b-2，a-2)．
（1）若
m
∥
n
，求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若
m
⊥
p
，邊長c=2，角C=
π
3
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量
m
=（a，b），
n
=（sinB，sinA），
p
=（b-2，a-2）．
（1）若
m
∥
n
，試判斷△ABC的形狀并證明；
（2）若
m
⊥
p
，邊長c=2，∠C=
π
3
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（
3
sin2x-1，cosx），n=（
1
2
，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在[0，
π
2
]上的最大值；
（2）已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A、B為銳角，f（A+
π
6
）=
3
5
，f（
B
2
-
π
12
）=
10
10
，又a+b=
2
+1，求a、b、c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的角A，B，C所對的邊a，b，c，且acosC+
12
c=b．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=1，求b+c的最大值并判斷這時三角形的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的角A，B，C的對邊依次為a，b，c，若滿足
3
tanA•tanB-tanA-tanB=
3
，
（Ⅰ）求∠C大小；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC為銳角三角形，求a2+b2取值范圍．

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