Question

過拋物線＝2px的焦點(diǎn)F做傾斜角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S(O為原點(diǎn))。

    (1)用θ，p表示S；

    (2)求S的最小值；若最小值為4時(shí)，求此時(shí)的拋物線方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

求△AOB面積的方法，有兩種途徑，一是求頂點(diǎn)到AB的距離OH，(如圖所示)，利用S＝|AB|·|OH|お；一是將圖形進(jìn)行分割，利用S＝S△AOF＋S△BOF，把OF看作兩三角形的公共底邊。 解法一  設(shè)A(x1，y1)，B(x=，y2)。     若θ＝90。時(shí)，AB⊥x軸，從拋物線定義知，|AB|＝2p，這時(shí)|OH|＝|OF|＝。お     若θ≠90°時(shí)，設(shè)直線AB方程為y＝ (x－).     則|OH|＝，(∵0°＜θ＜180°)     從     　　　　   ①     ∵y1，y2是方程①的兩根     ∴。     從弦長(zhǎng)公式，得     |AB| 　　    　　    　　    =お     ∴S　　    ②     當(dāng)θ＝90°時(shí)，從式②得S。     ∴，那么問題(1)解決。     對(duì)于(2)，∵0°＜θ＜180°，     ∴，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90°時(shí)，等號(hào)成產(chǎn)，即，表明焦點(diǎn)弦AB變成通徑時(shí)，ΔAOB面積最小。 令=4，得，根據(jù)對(duì)稱性，所求拋物線是或。 解法二   從S 其余同解法一就可得到結(jié)論。