Question

已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間［-，］上的偶函數(shù)，且
x∈［0，］時，
（1）求函數(shù)f(x)的解析式；
（2）若矩形ABCD的頂點A，B在函數(shù)y=f(x)的圖像上，頂點C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值.

Answer 1

（1） （2）6

本題主要考查了分段函數(shù)、函數(shù)的最值及其幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．
（1）欲求函數(shù)f（x）的解析式，只須求出函數(shù)f（x）在x∈[- ，0]時的解析式即可，利用函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)即可由y軸右側(cè)的表達(dá)式求出在y軸左側(cè)的表達(dá)式．最后利用分段函數(shù)寫出解析式即可．
（2）設(shè)A點在第一象限，坐標(biāo)為A（t，-t²-t+5），利用對稱性求出B點坐標(biāo)，進而求出矩形ABCD面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求出此面積表達(dá)式的最大值即可．
解（1）當(dāng)x∈時，-x∈．
∴．又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴．
∴.
（2）由題意，不妨設(shè)A點在第一象限，
坐標(biāo)為（t，-t2-t+5），其中t∈
由圖象對稱性可知B點坐標(biāo)為．
則S（t）=  =
s′（t）=．由s′（t）=0，得（舍去），．
當(dāng)0＜t＜1時，s′（t）＞0；t＞1時，s′（t）＜0．
∴S（t）在（0，1]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=1時，矩形ABCD的面積取得極大值6，
且此極大值也是S（t）在t∈上的最大值．
從而當(dāng)t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6．