Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式時恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)本題首先可以對函數(shù)進行求導，然后通過對以及兩種情況進行分類討論，分別求出每一種情況下函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果；

(2)本題首先可以將不等式在時恒成立轉(zhuǎn)化為在時恒成立，然后令，再對函數(shù)的導函數(shù)的性質(zhì)進行分類討論，即可得出結(jié)果。

（1），

①若，，在上單調(diào)遞增；

②若,當時，，當時，，

所以是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，

綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。

（2）由題意可知，不等式可轉(zhuǎn)化為在時恒成立，

令，

，

①若，則，在上單調(diào)遞減，

所以，不等式恒成立等價于，即；

②若，則，當時，，當時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，不符合題意；

③若，當時，，在上單調(diào)遞增，

所以，不符合題意；

綜上所述，。