已知函數(shù),其圖象為曲線(xiàn),點(diǎn)為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)處作曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)交于另一點(diǎn),在點(diǎn)處作曲線(xiàn)的切線(xiàn).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)時(shí),的方程為,求實(shí)數(shù)和的值;
(Ⅲ)設(shè)切線(xiàn)、的斜率分別為、,試問(wèn):是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和;單調(diào)遞減區(qū)間是;(2),;(3).
解析試題分析:(1)將代入到函數(shù)中,求導(dǎo),解出的的取值范圍,從而能夠?qū)懗龊瘮?shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間;(2)將切點(diǎn)代入到函數(shù)表達(dá)式中,求出的關(guān)系,再將代入到中,求出最終的值;(3)設(shè),寫(xiě)出函數(shù)在處的切線(xiàn),并與曲線(xiàn)聯(lián)立,得到關(guān)于的方程,再設(shè),根據(jù)韋達(dá)定理表示出,再利用,得出,化簡(jiǎn)成,則能夠得到,進(jìn)而能夠求出的值.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),
則,解得或;
,解得
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和;單調(diào)遞減區(qū)間是.
(Ⅱ)由題意得,即,
解得
∴實(shí)數(shù)和的值分別是和.
(Ⅲ)設(shè),則,
聯(lián)立方程組
由②代入①整理得
設(shè),則由韋達(dá)定理得,∴
由題意得;
假設(shè)存在常數(shù)使得,則,
即,∴,解得
所以當(dāng)時(shí),存在常數(shù)使得;
當(dāng)時(shí),不存在,使得 .
考點(diǎn):1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,2.曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程,3.函數(shù)存在性問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷(xiāo)售量(單位:千克)與銷(xiāo)售價(jià)格(單位:元/千克)滿(mǎn)足關(guān)系式,其中,為常數(shù),已知銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí),每日可銷(xiāo)售出該商品5千克;銷(xiāo)售價(jià)格為4.5元/千克時(shí),每日可銷(xiāo)售出該商品2.35千克.
(1)求的解析式;
(2)若該商品的成本為2元/千克,試確定銷(xiāo)售價(jià)格的值,使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇a,b](a<b),則稱(chēng)函數(shù)f(x)是[a,b]上的“四維光軍”函數(shù).
①設(shè)g(x)=x2-x+是[1,b]上的“四維光軍”函數(shù),求常數(shù)b的值;
②問(wèn)是否存在常數(shù)a,b(a>-2),使函數(shù)h(x)=是區(qū)間[a,b]上的“四維光軍”函數(shù)?若存在,求出a,b的值,否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車(chē)間,分別位于邊長(zhǎng)是的等邊三角形的頂點(diǎn)處(如圖),現(xiàn)要在邊上的點(diǎn)建一倉(cāng)庫(kù),某工人每天用叉車(chē)將生產(chǎn)原料從倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往車(chē)間,同時(shí)將成品運(yùn)回倉(cāng)庫(kù).已知叉車(chē)每天要往返車(chē)間5次,往返車(chē)間20次,設(shè)叉車(chē)每天往返的總路程為.(注:往返一次即先從倉(cāng)庫(kù)到車(chē)間再由車(chē)間返回倉(cāng)庫(kù))
(Ⅰ)按下列要求確定函數(shù)關(guān)系式:
①設(shè)長(zhǎng)為,將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
②設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式.
(Ⅱ)請(qǐng)你選用(Ⅰ)中一個(gè)合適的函數(shù)關(guān)系式,求總路程 的最小值,并指出點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某商場(chǎng)在店慶一周年開(kāi)展“購(gòu)物折上折活動(dòng)”:商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的八折出售,折后價(jià)格每滿(mǎn)500元再減100元.如某商品標(biāo)價(jià)為1500元,則購(gòu)買(mǎi)該商品的實(shí)際付款額為1500×0.8-200=1000(元).設(shè)購(gòu)買(mǎi)某商品得到的實(shí)際折扣率.設(shè)某商品標(biāo)價(jià)為元,購(gòu)買(mǎi)該商品得到的實(shí)際折扣率為.
(Ⅰ)寫(xiě)出當(dāng)時(shí),關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出購(gòu)買(mǎi)標(biāo)價(jià)為1000元商品得到的實(shí)際折扣率;
(Ⅱ)對(duì)于標(biāo)價(jià)在[2500,3500]的商品,顧客購(gòu)買(mǎi)標(biāo)價(jià)為多少元的商品,可得到的實(shí)際折扣率低于?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),,其中為常數(shù), ,函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為,函數(shù)的圖象與直線(xiàn)交點(diǎn)處的切線(xiàn)為,且。
(Ⅰ)若對(duì)任意的,不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)對(duì)于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)。我們把 的值稱(chēng)為兩函數(shù)在處的偏差。求證:函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中常數(shù)a > 0.
(1) 當(dāng)a = 4時(shí),證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù);
(2) 求函數(shù)f(x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知是定義在上的偶函數(shù),且時(shí),.
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)求函數(shù)的表達(dá)式;
(Ⅲ)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬(wàn)元,設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝千件并全部銷(xiāo)售完,每千件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元,且.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)品(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大?
(注:年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年總成本)
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