Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-

5

x

不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=

bx+c

ax

的函數(shù)為例）

Answer 1

分析：（1）由題意可得函數(shù)的定義域（-∞，0）∪（0．+∞），故可設[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．而函數(shù)y=3-

5

x

在

m，&n

上單調(diào)遞增．假設[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

g(m)=m g(n)=n

，通過判斷方程的解的存在情況進行判斷是否存在和諧區(qū)間
（2）設[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．由題意可得[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
若函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，由題意可得函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上單調(diào)遞增．，則

f(m)=m f(n)=n

，故m、n是方程

a+1

a

-

1

a2x

=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數(shù)根，利用一元二次方程有兩個不同的實根的條件可求a＞3或 a＜-1而n-m=

(n+m)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（3）可以舉常見的基本初等函數(shù)，如y=-x+2，y=sin

π

2

x，y=

1-x2

即可．

解答：解：（1）設[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函數(shù)y=3-

5

x

在[m，n]上單調(diào)遞增．
若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

g(m)=m g(n)=n

（4分）
故m、n是方程3-

5

x

=x的同號的相異實數(shù)根．∵x²-3x+5=0無實數(shù)根，
∴函數(shù)y=3-

5

x

不存在“和諧區(qū)間”．（6分）
（2）設[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上單調(diào)遞增．
若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

f(m)=m f(n)=n

（10分）
故m、n是方程

a+1

a

-

1

a2x

=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數(shù)根．
∵mn=

1

a2

＞0，
∴m，n同號，只須△=a²（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3時，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m，n]
，∵n-m=

(n+m)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，
∴當a=3時，n-m取最大值

2 3

3

（14分）
（3）如：y=-x+2和諧區(qū)間為、[0，2，]，[-1，3，]，
當a+b=2的區(qū)間[a，b]；y=sin

π

2

x和諧區(qū)間為[0，1]
y=

1-x2

和諧區(qū)間為[-1，0]（18分）

點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解，考查了利用已學知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．