已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F的直線交y軸正半軸于點(diǎn)，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，其中A在第二象限．
（1）求證：以線段FA為直徑的圓與Y軸相切；
（2）若數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，求λ2-λ1的值．

證明：（1）由已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（），
設(shè)A（x1，y1），則圓心坐標(biāo)為，
圓心到y(tǒng)軸的距離為．…（2分）
圓的半徑為，…（4分）
∴以線段FA為直徑的圓與y軸相切． …（5分）
（2）設(shè)P（0，y0），B（x2，y2），由，得λ1＞0，λ2＞0，……（6分）
．（7分）
∴①
②
-y2=λ2y1③…（10分）
∵．
將③變形為，∴．…（11分）
將代入②，整理得…（12分）
代入①得．…（13分）
即λ2-λ1=1．…（14分）
分析：（1）由題設(shè)知F（），設(shè)A（x1，y1），則y12=-2px，計(jì)算出圓心坐標(biāo)，然后分別求出圓心到y(tǒng)軸的距離和圓半徑，由此能夠證明以線段FA為直徑的圓與y軸相切．
（2）設(shè)P（0，y1），B（x2，y2），由題中向量關(guān)系式得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后代入拋物線方程整理即可得到λ2-λ1的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到直線與圓的位置關(guān)系及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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