Question

設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若在x=處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明．

Answer 1

解：（I）由題知f(x)=2ax²+(a+4)x+lnx的定義域?yàn)?0，+∞)，

且．

又∵ f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行，

∴ ，

解得  a=-6．

（Ⅱ），

由x>0，知>0．

①當(dāng)a≥0時(shí)，對(duì)任意x>0，>0，

∴  此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)．

②當(dāng)a<0時(shí)，令=0，解得，

當(dāng)時(shí)，>0，當(dāng)時(shí)，<0，

此時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，+∞)．

（Ⅲ）不妨設(shè)A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知 ，

于是要證<0成立，只需證：即．

∵，   ①

，  ②

①-②得，

即，

∴ ，

故只需證，

即證明，

即證明，變形為，

設(shè)，令，

則，

顯然當(dāng)t>0時(shí)，≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，=0，

∴  g(t)在(0，+∞)上是增函數(shù)．

又∵ g(1)=0，

∴ 當(dāng)t∈(0，1)時(shí)，g(t)<0總成立，命題得證．