Question

正四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為

6

，則此球的體積為

9

2

π

．

Answer 1

分析：設(shè)球半徑為R，底面中心為O'且球心為O．正四棱錐P-ABCD中根據(jù)AB=2且PA=

6

，算出AO'=

2

、PO'=2、OO'=2-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立關(guān)于R的等式，解出R=

3

2

，再利用球的體積公式即可得到外接球的體積．

解答：解：如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O'且球心為O，
∵正四棱錐P-ABCD中AB=2，PA=

6

，
∴AO'=

2

2

AB=

2

，可得PO'=

PA2-AO′2

=2，OO'=PO'-PO=2-R．
∵在Rt△AOO'中，AO²=AO'²+OO'²，
∴R²=（

2

）²+（2-R）²，解之得R=

3

2

，
因此可得外接球的體積V=

4

3

πR³=

4

3

π•(

3

2

)3=

9

2

π．
故答案為：

9

2

π

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱錐的形狀，求它的外接球的體積，著重考查了正棱錐的性質(zhì)、多面體的外接球、勾股定理與球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．