Question

一個圓圓心為橢圓右焦點(diǎn)，且該圓過橢圓中心，交橢圓于P，直線PF₁（F₁為該橢圓左焦點(diǎn)）是此圓切線，則橢圓離心率為

3

-1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意和橢圓定義可知根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，所以|PF₂|=2a-c；利用特殊三角形可得：|PF2|=

3

c，進(jìn)而建立等式求得e．

解答：解：設(shè)F₂為橢圓的右焦點(diǎn)
由題意可得：圓與橢圓交于P，并且直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點(diǎn)）是該圓的切線，
所以點(diǎn)P是切點(diǎn)，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．
又因?yàn)镕₁F₂=2c，所以∠PF₁F₂=30°，所以 |PF2|=

3

c．
根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．
所以2a-c=

3

c，所以e=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、直線與圓的相切、橢圓的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．