Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B與A（-1，1）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P為動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

2

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP、BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn)P，使AN∥BM，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關(guān)系即可得到關(guān)系式，化簡后即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線方程，從而可得M，N的坐標(biāo)，根據(jù)AN∥BM，直線AP與BP的斜率之積等于-

1

2

，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）因?yàn)辄c(diǎn)B與A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為（1，-1）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則
∵直線AP與BP的斜率之積等于-

1

2

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

2

化簡得x²+2y²=3（x≠±1）．
故動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程為x²+2y²=3（x≠±1）；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（a，b），則直線AP：y=

b-1

a+1

x+

a+b

a+1

直線BP：y=

b+1

a-1

x+

a+b

-a+1

直線AP、BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，
所以，點(diǎn)M（3，

4b+a-3

a+1

），點(diǎn)N（3，

2b-a+3

a-1

）
因?yàn)锳N∥BM，所以

2b+a-3

a+1

=

b-a+2

2a-2

，所以a=

5

3

因?yàn)橹本�AP與BP的斜率之積等于-

1

2

，
所以

b-1

a+1

•

b+1

a-1

=-

1

2

，所以b=-

1

3

或者b=

1

3

所以，存在點(diǎn)P （

5

3

，

1

3

）或者（

5

3

，-

1

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．