Question

一種十字繡作品由相同的小正方形構(gòu)成，圖①，②，③，④分別是制作該作品前四步時(shí)對(duì)應(yīng)的圖案，按照如此規(guī)律，第步完成時(shí)對(duì)應(yīng)圖案中所包含小正方形的個(gè)數(shù)記為．

① ② ③ ④

（1）求出，，，的值；

（2）利用歸納推理，歸納出與的關(guān)系式；

（3）猜想的表達(dá)式，并寫出推導(dǎo)過程．

 

Answer 1

（1）,,,；（2）；（3）猜想

【解析】

試題分析：（1）先觀察圖形，得出的值，從中得出的關(guān)系；（2）歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，所得的推理不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法；（3）數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，再由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用方法有：一是求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納總結(jié)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；二是將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差數(shù)列或者等比數(shù)列，或用累加法，累乘法，迭代法求通項(xiàng)．

試題解析：【解析】
（1）圖①中只有一個(gè)小正方形，得；

圖②中有3層，以第3層為對(duì)稱軸，有1+3+1=5個(gè)小正方形，得；

圖③中有5層，以第3層為對(duì)稱軸，有1+3+5+3+1=13個(gè)小正方形，得；

圖④中有7層，以第4層為對(duì)稱軸，有1+3+5+7+5+3+1=25個(gè)小正方形，得；

圖⑤中有9層，以第5層為對(duì)稱軸，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41個(gè)小正方形，；

（2）

的關(guān)系式為：

（3）猜想的表達(dá)式為

由（2）可知

將上述個(gè)子相加，得

解得

的表達(dá)式．

考點(diǎn)：（1）歸納推理的應(yīng)用;（2）迭代法求和．