Question

平地上有一條水渠，其橫斷面是一段拋物線弧，如圖，已知渠寬為m，渠深為6m．
（1）若渠中水深為m，求水面的寬，并計算水渠橫斷面上的過水面積；
（2）為了增大水渠的過水量，現(xiàn)要把這條水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請你設(shè)計水渠改挖后的底寬，并求出這個底寬．

Answer 1

解：（1）建立如圖的坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0）．
由已知點P（2，6）在拋物線上，得p=2，
∴拋物線的方程為y=，
令y=4，得x=±4，即水面寬為8（m），
∴水渠橫斷面過水面積為2（4×4-
2（16-）=（m²）．
（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，
如圖，設(shè)切點M（t，），t＞0．
則函數(shù)在點M的切線方程為y-=，
令y=0，y=6，得A（，0），B（+，6），
∴此時校對形OABC的面積為S（t）==3（t+），t＞0，
∵S（t）=3（t+）≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，等號成立，
此時|OA|=，
∴設(shè)計改挖后的水渠的底寬為2m時，可使用權(quán)所挖土的土方量最少．
分析：（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0）．由已知點P（2，6）在拋物線上，推導(dǎo)出拋物線的方程為y=，由此能求出水渠橫斷面過水面積．
（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，設(shè)切點M（t，），t＞0．則函數(shù)在點M的切線方程為y-=，由此能推導(dǎo)出設(shè)計改挖后的水渠的底寬為2m時，可使用權(quán)所挖土的土方量最少．
點評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意定積分的合理運用．