Question

4．在邊長為1的正三角形ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點，沿線段DE折疊三角形ABC，使頂點A正好落在BC邊上，則AD長度的最小值為2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 在圖（2）中連接DP，由折疊可知AD=PD，根據(jù)等邊對等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP為三角形ADP的外角，若設(shè)∠BAP為θ，則有∠BDP為2θ，再設(shè)AD=PD=x，根據(jù)正弦定理建立函數(shù)關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的最大值，進而得出x的最小值，即為AD的最小值．

解答 解：顯然A，P兩點關(guān)于折線DE對稱
連接DP，圖（2）中，可得AD=PD，則有∠BAP=∠APD，
設(shè)∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再設(shè)AD=DP=x，則有DB=1-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知$\frac{1-x}{sin（120°-2θ）}$=$\frac{x}{sin60°}$
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（120°-2θ）+\sqrt{3}}$，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴當120°-2θ=90°，即θ=15°時，sin（120°-2θ）=1．
此時x取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$-3，且∠ADE=75°．
則AD的最小值為2$\sqrt{3}$-3．
故答案為：2$\sqrt{3}$-3．

點評 此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．