如圖，橢圓為橢圓的左、右頂點．

（1）設(shè)為橢圓的左焦點，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值；

（2）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為l，求橢圓的標準方程；

（3）若直線與（2）中所述橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且滿是，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（1）設(shè)．

對稱軸方程．由題意恒成立，                        （2分）

在區(qū)間上單凋遞增，                                （3分）

        ∴當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時取得最小值與最大值．

（注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）

（2）由已知與（1）得：，

，                                  （5分）

∴橢圓的標準方程為．                                 （6分）

（3）設(shè)，聯(lián)立

得．                             （7分）

則

又，（8分）

∵橢圓的右頂點為，

                                         （9分）

        解得：，且均滿足，           （10分）

        當(dāng)時，的方程為，直線過定點（2，0），與已知矛盾．

當(dāng)時，的方程為，直線過定點（，0），    （11分）

∴直線過定點，定點坐標為（，0）．                           （12分）

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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（文）如圖點P為橢圓
x2
9
+
y2
5
=1上的動點，A為橢圓的左頂點，F(xiàn)為右焦點．
（Ⅰ）若∠AFP=60°，求PF所在直線被橢圓所截得的弦長|PQ|；
（Ⅱ） ）求PF中點M的軌跡方程．

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[　　]

A．

B．

C．

D．

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如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點．當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點,

記△的面積為，△（為原點）的面積為，求的取值范圍．

 

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如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點．當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點,

記△的面積為，△（為原點）的面積為，求的取值范圍．

 


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