精英家教網(wǎng)已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，直線l1：y=-t2+8t（其中0≤t≤2．t為常數(shù)）；l2：x=2．若直線l1、l2與函數(shù)f（x）的圖象以及l(fā)1，y軸與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（1）求a、b、c的值．
（2）求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式．
分析：（1）由圖知（0，0）和（8，0）在函數(shù)圖象上，以及f（x）的最大值為16，代入函數(shù)解析式和頂點的縱坐標，列出方程組求出a、b、c的值；
（2）由圖知先求出聯(lián)立直線l1與f（x）的方程，求出它們圖象的交點坐標，再根據(jù)定積分的幾何意義求出陰影部分的面積．
解答：解：（1）由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16
則
c=0
a•82+b•8+c=0
4ac-b2
4a
=16
解之得：
a=-1
b=8
c=0
，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x2+8x
（2）由
y=-t2+8t
y=-x2+8x
得x2-8x-t（t-8）=0，∴x1=t，x2=8-t，
∵0≤t≤2，∴直線l1與f（x）的圖象的交點坐標為（t，-t2+8t）
由定積分的幾何意義知：S(t)=
∫
t
0
[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+
∫
2
t
[(-x2+8x)-(-t2+8t]dx
=[(-t2+8t)x-(-
x3
3
+4x2)] |_t+[(-
x3
3
+4x2)-(-t2+8t)•x] 
|
2
t

=-
4
3
t3+10t2-16t+
40
3
．
點評：本題考查了由圖象求函數(shù)的解析式和陰影部分的面積，即根據(jù)點在圖象上則點的坐標滿足方程求解析式，用定積分求面積時應先求出交點的坐標，考查了讀圖能力和數(shù)形結(jié)合思想．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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