Question

已知數(shù)列{a_n}是首項a₁=的等比數(shù)列，其前n項和S_n中S₃，S₄，S₂成等差數(shù)列，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=|a_n|，若T_n=++…+，求證：≤T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）若q=1，則S₃=，S₄=1，S₂=，顯然S₃，S₄，S₂不構(gòu)成等差數(shù)列，所以q≠1；當(dāng)q≠1時，由S₃，S₄，S₂成等差數(shù)列得=，可求公比，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)b_n=|a_n|=n+1，可得，可求T_n，進(jìn)而可得{T_n}是遞增數(shù)列，故可得證．
解答：（1）解：若q=1，則S₃=，S₄=1，S₂=，顯然S₃，S₄，S₂不構(gòu)成等差數(shù)列．
∴q≠1，
當(dāng)q≠1時，由S₃，S₄，S₂成等差數(shù)列得=
∴2q²-q-1=0
∵q≠1，∴
∵a₁=
∴
（2）證明：∵b_n=|a_n|=n+1，
∴
∴T_n=++…+=
∴，
∴{T_n}是遞增數(shù)列．
∴T₁≤T_n
∴≤T_n＜．
點(diǎn)評：本題以等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的通項公式，考查裂項法求數(shù)列的和，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是裂項法求數(shù)列的和．