【答案】
分析:(Ⅰ)由題意知S
n-S
n-1=S
n-1-S
n-2+2
n-1(n≥3),所以a
n=a
n-1+2
n-1(n≥3),由此能夠求出數(shù)列{a
n}的通項公式.
(Ⅱ)①由于

=

=

.由此能夠證明對于任意正整數(shù)n,都有

.
②若T
n>m,其中m∈

,則有

,則

,故

,由此能夠證明對于任意的m

,均存在n
∈N
*,使得n≥n
時,T
n>m.
解答:解:(Ⅰ)由題意知S
n-S
n-1=S
n-1-S
n-2+2
n-1(n≥3),
即a
n=a
n-1+2
n-1(n≥3)…(1分)
∴a
n=(a
n-a
n-1)+(a
n-1-a
n-2)+…+(a
3-a
2)+a
2=2
n-1+2
n-2+…+2
2+5
=2
n-1+2
n-2+…+2
2+2+1+2
=2
n+1,n≥3.…(3分)
檢驗知n=1,2時,結(jié)論也成立
故a
n=2
n+1.…(4分)
(Ⅱ) ①由于

=

=

.
故T
n=b
1+b
2•2+b
3•2
2+…+b
n•2
n-1=

+…+

=

<

=

.…(9分)
②若T
n>m,其中m∈

,則有

,
則

,
故

,
取

=[

](其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)),
則當(dāng)n>n
時,T
n>m.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,綜合性強(qiáng),難度大,計算量大,比較繁瑣,容易出錯.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.