Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）若函數(shù)F（x）=在[1，e]上是最小值為，求a的值；
（3）當b＞0時，求證：（其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

（1）解：求導函數(shù)可得：f'（x）=lnx+1（x＞0）
令f'（x）≥0，即lnx≥﹣1，∴x；
令f'（x）≤0，即lnx≤﹣1，∴0＜x；
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，]
∴f（x）_min=f（）=﹣
（2）解：F（x）==，求導函數(shù)可得
F'（x）=
當a≥0時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）min=﹣a=，
∴a=﹣[0，+∞），舍去；
當a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，﹣a）單調(diào)遞減，在（﹣a，+∞）單調(diào)遞增
若a∈（﹣1，0），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_min=﹣a=，
∴a=﹣（﹣1，0），舍去；
若a∈[﹣e，﹣1]，F(xiàn)（x）在（1，﹣a）單調(diào)遞減，在（﹣a，e）單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（﹣a）=ln（﹣a）+1=，
∴a=﹣∈[﹣e，﹣1]；
若a∈（﹣∞，﹣1），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴F（x）_min=F（e）=﹣（﹣∞，﹣1），舍去；
綜上所述：a=﹣
（3）證明：由（1）可知當b＞0時，有f（b）≥f（x）_min=f（）=﹣，
∴，即．
∴