Question

求證：△ABC是等邊三角形的充要條件是a²+b²+c²=ab+bc+ca，這里a，b，c是△ABC的三條邊．

Answer 1

分析：本題要證明一個條件是另一個條件的充要條件，這種題目的證明，要從兩個方面來證明，即證明充分性，也要證明必要性，注意條件的等式的整理成完全平方的形式．

解答：證明：（1）充分性：如果a²+b²+c²=ab+bc+ca，
則a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
所以（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等邊三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等邊三角形，則a=b=c．
所以（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
所以a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
所以a²+b²+c²=ab+bc+ca
綜上可知：△ABC是等邊三角形的充要條件是a²+b²+c²=ab+bc+ca．

點評：本題考查三角形形狀的判斷，看出一個條件是另一個條件的充要條件，本題解題的關鍵是理解對于充要條件的證明，要從充分性和必要性兩個方面來證明，缺一不可，本題是一個中檔題目．