Question

10．由于渤海海域水污染嚴(yán)重，為了獲得第一手的水文資料，潛水員需要潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，潛水員下潛的平均速度為v（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間消耗氧氣${（\frac{v}{10}）^3}+1$（升），在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間，每單位時(shí)間消耗氧氣0.9（升），返回水面的平均速度為$\frac{v}{2}$（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間消耗氧氣1.5（升），記該潛水員完成此次任務(wù)的消耗氧氣總量為y（升）．
（1）求y關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若c≤v≤15（c＞0），求當(dāng)下潛速度v取什么值時(shí)，消耗氧氣的總量最少．

Answer 1

分析 （1）分別計(jì)算潛入水底用時(shí)用氧量，水底作業(yè)時(shí)用氧量和返回水面用時(shí)用氧量，即可得到總用氧量的函數(shù)y；
（2）求導(dǎo)數(shù)y′，判斷函數(shù)y的單調(diào)性，討論c的取值，求出下潛速度v取什么值時(shí)消耗氧氣的總量最少．

解答 解：（1）由題意，下潛用時(shí)$\frac{60}{v}$單位時(shí)間，
用氧量為[${（\frac{v}{10}）}^{3}$+1]×$\frac{60}{v}$=$\frac{{3v}^{2}}{50}$+$\frac{60}{v}$（升），
水底作業(yè)時(shí)的用氧量為10×0.9=9（升），
返回水面用時(shí)$\frac{60}{\frac{v}{2}}$=$\frac{120}{v}$單位時(shí)間，
用氧量為$\frac{120}{v}$×1.5=$\frac{180}{v}$（升），
∴總用氧量為y=$\frac{{3v}^{2}}{50}$+$\frac{240}{v}$+9（v＞0）；
（2）求導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{6v}{50}$-$\frac{240}{{v}^{2}}$=$\frac{3{（v}^{3}-2000）}{2{5v}^{2}}$，
令y'=0，解得v=10$\root{3}{2}$，
在0＜v＜10$\root{3}{2}$時(shí)，y'＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減，
在v＞10$\root{3}{2}$時(shí)，y'＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增；
∴當(dāng)c＜10$\root{3}{2}$時(shí)，函數(shù)y在（0，10$\root{3}{2}$）上遞減，在（10，$\root{3}{2}$15）上遞增，
此時(shí)v=10$\root{3}{2}$時(shí)用氧量最少；
當(dāng)c≥10$\root{3}{2}$時(shí)，函數(shù)y在[c，15]上遞增，
此時(shí)v=c時(shí)，總用氧量最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)模型的構(gòu)建以及基本不等式的運(yùn)用問(wèn)題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，是綜合題．