已知定義域?yàn)?0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:f(m)+f(n)=f(m·n)對(duì)任意m,n∈(0,+∞)均成立.
(Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求的值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且僅有一個(gè)根,求實(shí)數(shù)k的取值集合.
解:(Ⅰ)令m=n=1,解得:f(1)=0;  
又令,解得:。
(Ⅱ)令m=n,得:
所求方程等價(jià)于,
上的單調(diào)函數(shù),所以原方程可化為,
即若k>0,則原問(wèn)題為方程上有一個(gè)根,
設(shè)其兩根為,則,又注意到,∴只可能是二重正根,
由△=0,解得k=4或k=0(矛盾,舍去);
若k<0,則原問(wèn)題為方程在(-1,0)上有一個(gè)根,仍有,
,易知g(0)=1>0,
由根的分布原理,只需 g(-1)<0,即k<0;
綜上,
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2).
(1)試求f(0)的值;
(2)試求函數(shù)f(x)的最大值;
(3)試證明:當(dāng)x∈(
1
2n
1
2n-1
]
,n∈N+時(shí),f(x)<2x.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①對(duì)任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否同時(shí)適合①②③?并予以證明;
(3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證:f(x0)=x0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f (x)同時(shí)滿足:
①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)試求f(0)的值;
(2)試求函數(shù)f (x)的最大值;
(3)試證明:當(dāng)x∈(
1
4
1
2
]
時(shí),f(x)<2x.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
(1)對(duì)于任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;(2)f(1)=1
(3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2
(Ⅰ)試求f(0)的值;
(Ⅱ)試求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅲ)試證明:滿足上述條件的函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,都有f(x)≤2x.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案